Fraktal
Z Wikipedii
Fraktal ( łac. fractus – złamany, oświetlenie dyskotekowe cząstkowy) w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samo-podobny (tzn. taki, szkoły policealne którego części są podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym powiększeniu). Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują określać fraktal jako zbiór, meble który:
- ma nietrywialną strukturę w każdej skali, felgi
- struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej geometrii euklidesowej, szkoły policealne
- jest samo-podobny, szczawnica jeśli nie w sensie dokładnym, szczawnica to przybliżonym lub stochastycznym, działki w szczawnicy
- jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar topologiczny , kosmetyka laserowa
- ma względnie prostą definicję rekurencyjną, jaworki
- ma naturalny ("poszarpany", studium policealne "kłębiasty" itp.) wygląd.
Dokładniej, sypialnie fraktalem nazwiemy zbiór który posiada wszystkie te charakterystyki albo przynajmniej ich większość (zob. Falconer (1997)). Na przykład linia prosta na płaszczyźnie jest formalnie samo-podobna, aparaty cyfrowe ale brak jej pozostałych cech i zwyczajowo nie uważa się jej za fraktal. Z drugiej strony, podsłuchy zbiór Mandelbrota ma wymiar Hausdorffa równy 2, stoły taki sam jak jego wymiar topologiczny. Jednak pozostałe cechy wskazują, opony że jest to fraktal.
Fraktale stosowane są w grafice komputerowej . Niektóre popularne programy które tworzą fraktale są Fractint, depilacja laserowa Ultrafractal, materace XenoDream, szczawnica Tiera-Zon, fotele z mazażem FractalExplorer, monitoring Apophysis, aparaty cyfrowe Sterling , suknie ślubne i QuaSZ. Przykłady ilustracji fraktalów widać poniżej.
Spis treści |
[ edytuj ] Historia
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki przez francuskiego informatyka i matematyka polskiego pochodzenia Benoit Mandelbrota w latach siedemdziesiątych XX wieku . Odkryty przez niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa , szczawnica postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary , pozycjonowanie mająca swoje początki w pracach Constantina Caratheodory'ego i Felixa Hausdorffa .
Szczególnymi fraktalami – nie nazywając ich po imieniu – zajmowali się Georg Cantor , kamery Giuseppe Peano , Szkoły policealne katowice Wacław Sierpiński , mieszkania w szczawnicy Paul Lévy , faty a także Donald Knuth . Szczególny wkład w rozwój geometrycznej teorii miary wniósł Abram Samoilovitch Besicovitch , szczawnica który skonstruował również wiele konkretnych fraktali o paradoksalnych własnościach. Również zbiór Julii , ściśle związany ze zbiorem Mandelbrota , pozycjonowanie był badany w latach 20. zeszłego wieku . Mandelbrot używając komputera do wizualizacji uczynił z fraktali przedmiot intensywnych badań. O ważności dziedziny zadecydowały zastosowania w różnych dziedzinach (zwłaszcza poza matematyką), meble a w szczególności istnienie licznych odpowiedników w naturze .
[ edytuj ] Własności
Za jedną z cech charakterystycznych fraktala uważa się samopodobieństwo, w3 to znaczy podobieństwo fraktala do jego części. Co więcej, meble zbiory fraktalne mogą być samoafiniczne, f-18 tj. część zbioru może być obrazem całości przez pewne przekształcenie afiniczne . Dla figur samopodobnych można określić wielkość zwaną wymiarem samopodobieństwa lub wymiarem pudełkowym . Są to wielkości będące uogólnieniem klasycznych definicji wymiaru.
Wiadomo, nieruchomości szczawnica że stosunek pól płaskich (wymiaru 2) figur podobnych równa się kwadratowi skali ich podobieństwa. Na przykład figura podobna do innej w skali 3 ma dziewięć razy większe pole od tamtej (9 = 32 albo 2 = log39). W przestrzeni stosunek objętości brył (trójwymiarowych) podobnych jest sześcianem skali ich podobieństwa; bryła podobna do innej w skali 2 ma osiem razy większą objętość od tamtej (8 = 23 albo 3 = log28). Wymiar samopodobieństwa figury daje się zatem określić jako logarytm o podstawie równej skali podobieństwa i liczbie logarytmowej wskazującej ile razy większa od figury wyjściowej (jaką częścią figury wyjściowej) jest figura podobna do niej w tej skali. Dla fraktali liczba ta może nie być całkowita.
Na przykład zbiór Cantora jest podobny do swoich dwu części w skali 3; wymiar Hausdorffa zbioru Cantora wynosi d = log 2/log 3=0, europa630929754... Analogicznie trójkąt Sierpińskiego jest podobny do swoich trzech części w skali 2, Szczawnica nieruchomości a jego wymiar Hausdorffa jest równy d = log 3/log 2 =1, Zakopane apartamenty584962501... Dywan Sierpińskiego jest podobny do swoich ośmiu części w skali 3, opony zimowe zatem jego wymiar Hausdorffa to d = log 8/log 3 =1, w1892789261...
Ogólniej, Telefony jeżeli fraktal składa się z N części, reksa które łączą się między sobą na obszarze miary Lebesgue'a zero i są podobne w skali r do całego fraktala to wymiar Hausdorffa fraktala będzie równy log N/log r. Jeszcze ogólniej, ewery jeśli założymy, rabaeberek że każda część jest podobna do całości w innej skali ri, aktualności i=1, pufka2, ..., N, to wymiar Hausdorffa jest rozwiązaniem poniższego równania z niewiadomą s
Niektóre fraktale są zbiorami o mierze Lebesgue'a równej zero. Dotyczy to fraktali klasycznych, np. trójkąt Sierpińskiego i zbiór Cantora mają miarę Lebesgue'a równą zero. Ogólnie każdy fraktal dla którego wymiar Hausdorffa jest ostro większy od wymiaru topologicznego będzie mieć tę własność. Z kolei zbiór Mandelbrota i niektóre zbiory Julii mają dodatnie miary Lebesgue'a (na przykład miara Lebesgue'a zbioru Mandelbrota wynosi ok. 1, 5).
[ edytuj ] Generowanie fraktali
[ edytuj ] Atraktory IFS
Najprostszą metodą tworzenia fraktali jest wykorzystanie zbioru przekształceń afinicznych 
będących przekształceniami zwężającymi (kontrakcjami). Transformując dowolny, niepusty zbiór S zgodnie z regułą (tworząc ciąg zbiorów):
- S0 = S
W granicy otrzymujemy:
,
atraktor układu, który w szczególności może być fraktalem. Zbiór 
nazywamy w tym przypadku systemem przekształceń iterowanych ( IFS ), zaś otrzymany w powyższej granicy fraktal jest atraktorem tego systemu. Jego istnienie wynika z twierdzenia Banacha o punkcie stałym odwzorowania zwężającego. W ten sposób można wygenerować m.in. następujące fraktale: zbiór Cantora , krzywa Kocha , smok Heighwaya , trójkąt Sierpińskiego , kostka Mengera , paproć Barnsleya .
W praktyce aby wygenerować fraktal wybieramy dowolny punkt x i transformujemy go kilka razy za każdym razem losując odpowiednio przekształcenie Fi:
Procedurę tę powtarzamy np. kilka tysięcy razy. W szczególnych przypadkach dla efektu wizualnego może być istotny sposób losowania przekształceń. Np. dla paproci Barnsleya przekształcenia Fi, i=1..4 (zob. definicję ) losuje się z częstościami 85%, 7%, 7%, 1% odpowiednio.
[ edytuj ] Zbiory Julii i Mandelbrota
Zbiory takie jak zbiór Mandelbrota , zbiór Julii czy " płonący statek " są podzbiorami płaszczyzny zespolonej . Dla każdego punktu p określa się pewien ciąg zn(p). Od zbieżności tego ciągu zależy czy punkt należy do zbioru (fraktala). Ciąg określa się wzorem rekurencyjnym :
- z0(p) = f(p)
- zn + 1(p) = g(zn)
Od postaci funkcji f i g zależy rodzaj fraktala.
Za punkty należące do danego zbioru uznaje się te, dla których:
Przykłady
- zbiór Mandelbrota :
- zbiór Julii zależy dodatkowo od ustalonego parametru c (dla każdego c otrzymujemy inny zbiór):
. - " płonący statek ":
.
W praktyce liczenie ogranicza się do kilkudziesięciu iteracji lub do momentu gdy | zn | > 2. Uzyskiwane kolory w obrazach fraktali (zwłaszcza zbiorów Julii) realizuje się np. zliczając, jak szybko poszczególne punkty rozbiegają się do nieskończoności i przydzielając im w zależności od tego różne barwy.
[ edytuj ] W przyrodzie
Struktury o budowie fraktalnej są powszechnie spotykane w przyrodzie. Przykładem mogą być krystaliczne dendryty (np. płatki śniegu), system naczyń krwionośnych, systemy wodne rzek, błyskawica lub kwiat kalafiora.
[ edytuj ] Przykłady
"Klasycznymi fraktalami", badanymi (czasem długo) przed powstaniem samego pojęcia fraktal, są m.in.:
- zbiór Cantora i związane z nim " diabelskie schody ";
- krzywe: funkcja Weierstrassa , krzywa Kocha , krzywa Peano , krzywa C Levy'ego ;
- trójkąt Sierpińskiego , dywan Sierpińskiego , w oryginale opisane przez autora jako krzywe na płaszczyznie, fakt "niewidoczny" we współczesnych konstrukcjach. Uogólnienie "trójwymiarowe" dywanu to kostka Mengera ;
- smok Heighwaya
- zbiór Julii
Inne ważne przykłady
- Fraktale otrzymywane w schemacie IFS (iterated function system), zob. niżej.
- bifurkacje Feigenbauma
- dziwne atraktory w układach dynamicznych
- fraktale Liapunowa
- zbiór Mandelbrota
[ edytuj ] Fraktale w matematyce
 Zbiór Mandelbrota |
 Zbiór Mandelbrota - powiększony fragment |
 Zbiór Mandelbrota - kolejne powiększenie |
 Zbiór Mandelbrota - kolejne powiększenie |
 Kostka Mengera (IFS) |
 Atraktor IFS |
 Atraktor IFS |
 Paproć Barnsleya (Atraktor IFS) |
 Zbiór Julii w przestrzeni kwaternionów |
 Zbiór Julii |
 Siódma iteracja krzywej Kocha |
 Fraktal w przestrzeni trójwymiarowej |
 Fraktal Buddhabrot |
 Etapy konstrukcji zbioru Cantora |
 Krzywe smocze mogą wypełnić płaszczyznę |
|
 Krzywa C Levy'ego |
 4 etap konstrukcji krzywej Sierpińskiego |
 Płatek śniegu - Merovinga |
 XCircle - Merovinga |
 X - Merovinga |
 XSquare- Merovinga |
.jpg)
[ edytuj ] Fraktale w grafice komputerowej
 |
 |
 |
 |
 |
 |
.jpg) |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
[ edytuj ] Fraktalopodobne obiekty w świecie rzeczywistym
 Zdjęcie kalafiora Brassica oleracea |
 Zdjęcie wykonane teleskopem Hubble'a |
 Chmura |
 Chmury |
 Fiordy Sognefjorden i Hardangerfjorden |
 Fiordy |
 Formacje skalne |
[ edytuj ] Literatura
- Barnsley, Michael F., and Hawley Rising. Fractals Everywhere. Boston: Academic Press Professional, 1993. ISBN 0-12-079061-0
- Falconer, Kenneth. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. West Sussex: John Wiley & Sons, Ltd., 2003. ISBN 0-470-84861-8
- Falconer, Kenneth. Techniques in Fractal Geometry. John Willey and Sons, 1997. ISBN 0-471-92287-0
- Kudrewicz, Jacek. Fraktale i chaos. WNT. ISBN 83-204-1927-1
- Mandelbrot, Benoît B. The Fractal Geometry of Nature. New York: W. H. Freeman and Co., 1982. ISBN 0-7167-1186-9
[ edytuj ] Zobacz też
- przegląd zagadnień z zakresu matematyki
- organizacja fraktalna (zarządzanie)
- fraktal Mandelbrota
- Fraktale w wikimedia
[ edytuj ] Linki zewnętrzne
| ONZ: Izrael najpierw ewakuował Palestyńczyków, a potem ich ostrzelał |
|
Przynajmniej 30 Palestyńczyków zginęło w Strefie Gazy w ostrzale domu, do którego zostali wcześniej ewakuowani przez izraelskich żołnierzy - wynika z raportu ONZ.
|
| "Nie myślałem, że minister się tak prostytuuje" |
|
Posłanka PiS Grażyna Gęsicka, wzywając rząd do odpowiedzialności za niewykorzystanie funduszy unijnych manipuluje opinią publiczną - ocenił w TVN24 poseł PO Janusz Palikot.
|
| Wypadek na drodze Wrocław-Legnica |
|
Jedna osoba została ranna w wyniku wypadku, do którego doszło w piątek wieczorem niedaleko miejscowości Mazurowice (Dolnośląskie). Droga krajowa nr 94 Wrocław - Legnica została całkowicie zablokowana.
|
| Omar Faris: Niech Izrael opuści nasze ziemie |
|
- Niech Izrael opuści nasze ziemie, a gwarantujemy, że ani jedna rakieta nie spadnie na ich ziemie - mówił przewodniczący Palestyńskiej Koalicji na rzecz Prawa do Powrotu Omar Faris, gość CZATerii w INTERIA.PL.
|
| Juszczenko: Konflikt gazowy był zaplanowany |
|
Ukraina pozwoli rosyjskim obserwatorom na wjazd na jej terytorium w celu nadzorowania tranzytu rosyjskiego gazu do Europy - poinformował prezydent Ukrainy Wiktor Juszczenko po spotkaniu z czeskim premierem Mirkiem Topolankiem w Kijowie.
|